在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G（1）如图1，连接AG，若DF=EF时，判断△AFG的形状，并证明你的结论．（2）如图2，若DF≠EF时．试

Question

在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G

（1）如图1，连接AG，若DF=EF时，判断△AFG的形状，并证明你的结论．
（2）如图2，若DF≠EF时．试探究线段AD，DF，DG三者之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）等腰直角三角形，理由如下：
如图1，连接CF，
在Rt△CDE中，CE=CD，DF=EF，
∴CF=DF=EF，∠ECF=∠CDE=45°，
∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=135°，∠FCG=∠GCE+∠ECF=135°，
∴∠ADF=∠GCF，
在△ADF和△GCF中，

∠DAF=∠CGF

∠ADF=∠GCF

DF=CF

，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AF=FG，
∵∠AFG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形．

（2）DG=AD+√(2)DF；
理由：如图2，过点F作FH⊥DE，
由（1）知，∠CDE=45°，
∴DH=√(2)DF，DF=HF，∠DHF=45°，
同（1）的方法得出∠ADF=∠GHF
在△ADF和△GHF中，

∠DAF=∠HGF

∠ADF=∠GHF

DF=HF

，
∴△ADF≌△GHF（AAS），
∴AD=HG，
∴DG=DH+HG=√(2)DF+AD．