在△ABC中，BO平分∠ABC，点P为直线AC上一动点，PO⊥BO于点O．（1）如图1，当∠ABC=40°，∠BAC=60°，点P与点C重合时，∠APO=；（2）如图2，当点P在AC延长线时，求证：∠APO=12（∠ACB-∠BAC）；

Question

在△ABC中，BO平分∠ABC，点P为直线AC上一动点，PO⊥BO于点O．

（1）如图1，当∠ABC=40°，∠BAC=60°，点P与点C重合时，∠APO=______；
（2）如图2，当点P在AC延长线时，求证：∠APO=(1)/(2)（∠ACB-∠BAC）；
（3）如图3，当点P在边AC所示位置时，请直接写出∠APO与∠ACB，∠BAC等量关系式______．

Answer 1

（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-60°=80°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠OBC=(1)/(2)×40°=20°，
∵PO⊥BO，
∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°，
∴∠APO=∠ACB-∠OCB=80°-70°=10°；
（2）如图，作射线AO，
则∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，
所以，∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，
∵PO⊥BO，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，
即∠BAC+∠2+∠P=90°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠2=(1)/(2)∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB，
∴∠2=(1)/(2)（180°-∠BAC-∠ACB），
∴∠APO=90°-∠BAC-∠2=90°-∠BAC-(1)/(2)（180°-∠BAC-∠ACB）=(1)/(2)（∠ACB-∠BAC）；
（3）
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=(1)/(2)（180°-∠BAC-∠ACB）．
∵PO⊥BO，∴∠APO=90°+（∠ABO+∠BAC）
=90°+(1)/(2)（180°-∠BAC-∠ACB）+∠BAC
=180°+(1)/(2)（∠BAC-∠ACB），
即∠APO=180°+(1)/(2)（∠BAC-∠ACB）．
故答案为：（1）10°；（3）∠APO=180°+(1)/(2)（∠BAC-∠ACB）．