排列组合高手进将一个圆分成n个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,不许相邻的扇形有相同的颜色,问共有多少种染色方法?答案是一个递推数列,

Question

排列组合高手进
将一个圆分成n个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,不许相邻的扇形有相同的颜色,问共有多少种染色方法?
答案是一个递推数列,

Answer 1

设n个扇形时,共有an种染色方法
则 a1=A(3,1)=3,a2=A(3,2)=6,a3=A(3,3)=6,a4=18
n≥3时,
当有n+1个扇形时,共有a(n+1)种染色方法
当有n+2个扇形时,
分类考虑
（1）相当于在n+1个扇形时,加入1个扇形
即在原来的任意两个扇形中插入1个,
注意到这两个扇形的颜色是不同的,
∴ 新扇形的染色方法只有一种
（2）相当于在n个扇形时,加入1个扇形（注意是1个,并且n=1时无法使用此规律）
∴ 即相当于将原来的任意一个扇形一分为二,在中间插入1个新扇形
此时分开的两个扇形是同色的
∴ 新扇形的染色方法有两种
∴ a(n+2)=a(n+1)+2a(n) n≥2
a1=3,a2=6,a3=6
如果写成n与n-1,n-2的形式
为a(n)=a(n-1)+2a(n-2) n≥4
a1=3,a2=6,a3=6