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在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF、FH、HE.(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;(2)如图②,当EF⊥GH
题目详情
在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF、FH、HE.
(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是______;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是______;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是______;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是______;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
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答案和解析
(1)四边形EGFH是平行四边形;
证明:∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴点O是▱ABCD的对称中心;
∴EO=FO,GO=HO;
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)∵四边形EGFH是平行四边形,EF⊥GH,
∴四边形EGFH是菱形;
(3)菱形;
由(2)知四边形EGFH是菱形,
当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响;
(4)四边形EGFH是正方形;
证明:∵AC=BD,
∴▱ABCD是矩形;
又∵AC⊥BD,
∴▱ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;
∵EF⊥GH,
∴∠GOF=90°;
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF;
∴△BOG≌△COF(ASA);
∴OG=OF,同理可得:EO=OH,
∴GH=EF;
由(3)知四边形EGFH是菱形,
又EF=GH,
∴四边形EGFH是正方形.
证明:∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴点O是▱ABCD的对称中心;
∴EO=FO,GO=HO;
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)∵四边形EGFH是平行四边形,EF⊥GH,
∴四边形EGFH是菱形;
(3)菱形;
由(2)知四边形EGFH是菱形,
当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响;
(4)四边形EGFH是正方形;
证明:∵AC=BD,
∴▱ABCD是矩形;
又∵AC⊥BD,
∴▱ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;
∵EF⊥GH,
∴∠GOF=90°;
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF;
∴△BOG≌△COF(ASA);
∴OG=OF,同理可得:EO=OH,
∴GH=EF;
由(3)知四边形EGFH是菱形,
又EF=GH,
∴四边形EGFH是正方形.
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