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已知O为正三角形ABC内一点,且满足OA+λOB+(1+λ)OC=0,若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3,则λ的值为()A.12B.1C.2D.3

题目详情
已知O为正三角形ABC内一点,且满足
OA
OB
+(1+λ)
OC
0
,若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3,则λ的值为(  )

A.
1
2

B.1
C.2
D.3
▼优质解答
答案和解析
OA
OB
+(1+λ)
OC
0

变为
OA
+
OC
+λ(
OB
+
OC
)=
0

如图,D,E分别是对应边的中点,
由平行四边形法则知
OA
+
OC
=2
OE
,λ(
OB
+
OC
)=2λ
OD

OE
=−λ
OD

在正三角形ABC中,
S△AOC=
1
3
S△AOB=
1
3
×
1
2
×S△ABC=
1
6
S△ABC=
1
3
S△ADC,
且三角形AOC与三角形ADC同底边AC,
故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一,
OE
=
1
3
DE
,⇒
OE
=-
1
2
OD

由①②得λ=
1
2

故选A.
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