两个碟子,一个大一个小,都被均分成200份,大碟子任选100个涂红,100个凃蓝,小的蓝色红色数目没有限制,将小的放到大的上边使中心重合.证明,可以将两个碟子扇形对齐是碟子上相同的颜色重合

Question

两个碟子,一个大一个小,都被均分成200份,大碟子任选100个涂红,100个凃蓝,小的蓝色红色数目没有限制,将小的放到大的上边使中心重合.证明,可以将两个碟子扇形对齐是碟子上相同的颜色重合扇形数目至少100个.

Answer 1

假设小碟有m个红色,n个兰色.m+n=200
那么,对于每种确定了涂色方案的大碟和小碟,通过旋转小碟,它们共有 200种可能的对应方式.
对于大碟里某一个确定的扇形,
假设它是红色,那么在这200次的对应中,该扇形共有m次是遇上同色的；
同样,对于兰色的扇形,在200次的对应里,共有n次遇上同色的小扇形.
大碟的红、兰扇形各100,这样,在200种可能的对应里,共有100m + 100n次同色的扇形,即共100(m+n) =100*200=20000次.
因此平均起来,每种对齐方式的同色扇形数目为100.
所以,至少有一种对齐方式,其同色扇形数>=100.