f(x)=1-e^2x在x=0处是否可导?麻烦证明一下

Question

f(x)=1-e^2x 在x=0处是否可导?麻烦证明一下

Answer 1

是可导的.
可以用定义证明：f'(0)=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x->0)[1-e^(2x)-0]/(x-0)=lim(x->0)[1-e^(2x)]/x
=-lim(x->0)[e^(2x)-1]/x=-lim(x->0)2x/x=-2.
或者lim(x->0)[1-e^(2x)]/x是一个0/0型的极限,可以用洛必达法则(L ' Hospital)求出,
lim(x->0)[1-e^(2x)]/x=lim(x->0)-2e^(2x)=-2.
所以函数f(x)=1-e^(2x)在x=0处是可导的,并且导数值f'(0)=-2.
但是楼上说的就不正确了,初等函数在其定义域内均连续,但是未必都处处可导.
比如说f(x)=x^(1/3),定义域为R,但是f(x)在x=0处就是不可导的,在其他点都可导.