f(x)在闭区间[1,2]连续,在开区间(1,2)可导,且f(2)=8f(1),证明:在(1,2)内存在一点ξ,使得3f(ξ)=ξf'(ξ)

Question

f(x)在闭区间[1,2]连续,在开区间(1,2)可导,且f(2)=8f(1),证明:在(1,2)内存在一点ξ,
使得3f(ξ)=ξf'(ξ)

Answer 1

考察：h(x) = f(x) / x^3
h(1) = h(2) = f(1)
所以，由微分中值定理，存在 ξ 属于 (1,2)
h'(ξ) = (h(2) - h(1)) / (2 - 1) = 0
也就是：h'(ξ) = (f'(ξ) ξ^3 - 3 ξ^2 f(ξ)) / ξ^6 = 0
也就是：f'(ξ) ξ - 3 f(ξ) = 0