定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）>0，f'（x）为f（x）的导函数，且2f（x）<xf'（x）<3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，则f(2)f(3)的取值范围是．

Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）>0，f'（x）为f（x）的导函数，且2f（x）<xf'（x）<3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，则 (f(2))/(f(3))的取值范围是___．

Answer 1

令g（x）=(f(x))/(x2)，x∈（0，+∞），
g′（x）=(xf′(x)-2f(x))/(x3)，
∵∀x∈（0，+∞），2f（x）<xf′（x）<3f（x）恒成立，
∴f（x）>0，
0<(xf′(x)-2f(x))/(x3)，
∴g′（x）>0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴g（2）<g（3），即(f(2))/(4)<(f(3))/(9)，
∴(f(2))/(f(3))<(4)/(9)①，
令h（x）=(f(x))/(x3)，x∈（0，+∞），
h′（x）=(xf′(x)-3f(x))/(x4)，
∵∀x∈（0，+∞），2f（x）<xf′（x）<3f（x）恒成立，
∴h′（x）=(xf′(x)-3f(x))/(x4)<0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴h（2）>g（3），即(f(2))/(8)>(f(3))/(27)，
∴(f(2))/(f(3))>(8)/(27)②，
∴综合①②：(8)/(27)<(f(2))/(f(3))<(4)/(9)，
故答案为：（(8)/(27)，(4)/(9)）．