在拓扑空间中,A包含于B,怎么证明A与B的导集,A与B的闭包,A与B的内部,A与B的边界有包含关系

Question

在拓扑空间中,A包含于B,怎么证明A与B的导集,A与B的闭包,A与B的内部,A与B的边界有包含关系

Answer 1

请参考：
首先,适当选择定义可以使证明简化.例如,利用A的闭包是“包含A的最小的闭集合”,由于
A ⊆ B ⊆ B的闭包
B的闭包是闭集,故A的闭包⊆B的闭包.
（即闭包演算子关于包含关系是保序的）
类似可以证明开核演算子关于包含关系是也是保序的,即
A的内部 ⊆ B的内部
或者利用 “x属于A的闭包 当且仅当 x的每个邻域都和A相交” 来验证：
设x属于A的闭包,再任取x的一个邻域U,于是
空集合≠ U∩A ⊆ U∩B
从而x也属于B的闭包.
关于导集,内部也一样验证.
但是我觉得A,B的边界（boundary）好像不一定有包含关系?!