一道类似于斐波那挈数列的数学题一只小猴爬梯,由下向上爬,每次可以爬一级或两级或三级台阶.若梯子有一级,则小猴有一种爬法；若梯子有两级,则小猴有2中爬法；若梯子有3级,小猴有4中爬

Question

一道类似于斐波那挈数列的数学题
一只小猴爬梯,由下向上爬,每次可以爬一级或两级或三级台阶.
若梯子有一级,则小猴有一种爬法；若梯子有两级,则小猴有2中爬法；若梯子有3级,小猴有4中爬法,若梯子有7级,那小猴有————种爬法
答案是44种,而我根据规律算得是22种,谁能告诉我规律是什么?

Answer 1

若梯子有1级,则小猴有1种爬法；
若梯子有2级,则小猴有2中爬法；
若梯子有3级,则小猴有4种爬法;
若梯子有 4级,那么有 1 + 2 + 4 = 7 种爬法
也就是说,
它可以先爬上 1级,然后直接到达第4级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上1级梯子的方法数)
它也可以先爬上 2级,然后直接到达第4级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上2级梯子的方法数)
它还可以先爬上 3级,然后直接到达第4级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上3级梯子的方法数)
综上所述,对于 第n级梯子
它可以先爬上 n-3 级,然后直接到达第n级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上第n-3级梯子的方法数)
它也可以先爬上 n-2级,然后直接到达第n级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上n-2级梯子的方法数)
它还可以先爬上 n-1级,然后直接到达第4级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上n-1级梯子的方法数)
因此这个数列的递推公式是:
a1 = 1
a2 = 2
a3 = 4
a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3)
那么
a4 = 1 + 2 + 4 = 7
a5 = 2 + 4 + 7 = 13
a6 = 4 + 7 + 13 = 24
a7 = 7 + 13 + 24 = 44
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当然,理论上存在 通项公式 .
可以想象,其推导过程必然比斐波那挈数列的推导过程还难.这将是另外一个问题了.
按递推公式计算,也并不太麻烦.而即使存在通向公式,也反而比较麻烦,比如 斐波那挈数列,按通项公式计算时候 要涉及到 烦琐的 二项式展开.因此反而不如递推公式更简洁了.