设a是大于2的任意正整数.证明:对于任意的a,有无限多的正整数n使得n|(a^n-1)

Question

设a是大于2的任意正整数.证明:对于任意的a,有无限多的正整数n使得n|(a^n-1)

Answer 1

由a > 2,可设p是a-1的一个质因数.
可以用数学归纳法证明:p^k | a^(p^k)-1,对任意正整数k成立.
这样取n = p^k就得到了无穷多个满足要求的正整数n.
k = 1时,p | a-1,又a-1 | a^p-1,故结论成立.
假设k = m时结论成立,即有p^m | a^(p^m)-1.
简单起见,记b = a^(p^m),则a^(p^(m+1)) = b^p.
而归纳假设即p^m | b-1.
由此可得p | b-1,进而p | b^(p-1)+...+1.
于是p^(m+1) | (b-1)(b^(p-1)+...+1) = b^p-1 = a^(p^(m+1))-1,
即k = m+1时结论也成立.
于是结论对任意正整数k成立.