设函数fx=x^2+|x-a|+1,(x∈R),(1)判断函数f(x)的奇偶性.(2)求函数f(x)的最小值

Question

设函数fx=x^2+|x-a|+1,(x∈R),(1)判断函数f(x)的奇偶性.(2)求函数f(x)的最小值

Answer 1

(1)当a=0时,f(x)为偶函数；当a≠0时,f(x)既不是偶函数,也不是奇函数.
(2)①当x≥a时,f(x)=x^2+x+1-a=(x+1/2)^2+3/4-a
当a≤-1/2时,f(x)min=3/4-a
当a＞-1/2时,f(x)min=f(a)=a^2+1
②当x≤a时,f(x)=x^2-x+1+a=(x-1/2)^2+3/4+a
当a≥1/2时,f(x)min=3/4-a
当a＜1/2时,f(x)min=f(a)=a^2+1
∴综上所述,当-1/2≤a≤1/2时,f(x)min=a^2+1
当a≤-1/2或a≥1/2时,f(x)min=3/4-a