9个数字按顺时针次序为1、9、3、4、2、6、8、5、7、排成一个圈,在某两个数字之间剪开.分别按顺时针和逆时针次序形成2个九位数,如果要求剪开后得到的2个9位数的差能被396整除,剪开处左右

Question

9个数字按顺时针次序为1、9、3、4、2、6、8、5、7、排成一个圈,在某两个数字之间剪开.分别按顺时针和逆时针次序形成2个九位数,如果要求剪开后得到的2个9位数的差能被396整除,剪开处左右两个数字乘积是多少

Answer 1

ABCDEFGHI - IHGFEDCBA
= (100000000 - 1)*A + (10000000 - 10)*B + (1000000 - 100)*C + …… + (10000 - 10000)*E
= 99999999A + 9999990B + 999900C + 99000D+ 0E - 99000F - 999900G - 9999990H - 99999999I
= 99(1010101A + 101010B + 10100C + 1D + 0 - 1F - 10100G - 101010H - 1010101I)
无关顺序,这两个互为倒序的九位数,其差必能被99整除.
而396 = 99*4,因此只需这两个九位数的差被4整除即可.
只需研究剪口附近两位数的差,即：
39 - 71
43 - 19
24 - 93
62 - 34
86 - 42
58 - 26
75 - 68
17 - 85
91 - 57
除去被减数、减数奇偶性不同,差明显不是4的倍数之外,剩余：
39 - 71 = -32 YES
43 - 19 = 24 YES
62 - 34 = 28 YES
86 - 42 = 44 YES
58 - 26 = 32 YES
17 - 85 = -68 NO
91 - 57 = 34 NO
因此有5种剪口能成立,分别是在19、39、42、26、68处
其乘积可为：9、27、8、12、48