如图,△ABC是边长为4的等边△形,顶角∠DBC=120°的等腰三角形,以D为顶点坐一个60°的角,角的两边交AB,AC于M,N两点,连MN,求△AMN的周长

Question

如图,△ABC是边长为4的等边△形,顶角∠DBC=120°的等腰三角形,以D为顶点坐一个60°的角,
角的两边交AB,AC于M,N两点,连MN,求△AMN的周长

Answer 1

你如果是做选择题或填空题的话,就直接选个特殊点做就行了,因为周长是不变的
⊿AMN周长为8
证明如下：延长NC至E,使CE=BM,连结DE
∵⊿ABC为等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60
  ⊿BDC为顶角为120º的等腰三角形
∴∠CBD=∠BCD=30º  BD=CD
∴∠ABD=ACD=90º
∴∠DCE=180-∠ACD=90º
在⊿MBD和⊿CDE中
MB=CE
∠MBD=∠DCE=90º
 BD=CD
∴⊿MBD≌⊿CDE
∴∠MDB=∠CDE    BM=DE
∵∠BDC=120º ∠MDN=60º
∴∠MDB+∠NDC=60º
∠MDB=∠CDE
∴∠CDE+∠NDC=60º
即∠MDE=60º
在⊿MDN和⊿EDN中
MD=DE
∠MDN=NDE=60º
DN=DN
∴⊿MDN≌⊿EDN
∴MN=NE
即MN=NC+CE=NC+BM
∴⊿AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=8