如图，在长方形ABCD中，AB=3，线段BC上有动点M，过M作直线MN交AB边于点N，并使得BM=2BN．（1）当N与A重合时，求BM的长；（2）在直线AD上是否存在一点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，

Question

如图，在长方形ABCD中，AB=3，线段BC上有动点M，过M作直线MN交AB边于点N，并使得BM=2BN．
（1）当N与A重合时，求BM的长；
（2）在直线AD上是否存在一点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）N与A重合时，BN=AB=3，
∴BM=2BN=2×3=6；

（2）①∠PNM=90°时，如图1，易得∠ANP=∠BMN，
在△APN和△BNM中，

∠ANP＝∠BMN

∠A＝∠B＝90°

PN＝MN

，
∴△APN≌△BNM（AAS），
∴AN=BM，AP=BN，
∵BM=2BN，
∴AB=AN+BN=2BN+BN=3，
解得BN=1，
∴AP=1；
②∠PMN=90°时，如图2，过点P作PE⊥BC于E，
易得∠BMN=∠MPE，
在△PME和△MNB中，

∠BMN＝∠MPE

∠B＝∠PEM＝90°

PM＝MN

，
∴△PME≌△MNB（AAS），
∴PE=BM=3，BN=ME=(1)/(2)BM=(3)/(2)，
∴BE=BM+ME=3+(3)/(2)=(9)/(2)；
③∠MPN=90°时，如图3，过点M作MF⊥AD于F，
易得∠APN=∠PMF，
在△APN和△FMP中，

∠APN＝∠PMF

∠A＝∠PFM＝90°

PM＝PN

，
∴△APN≌△FMP（AAS），
∴AP=MF=3，
综上所述，AP=1或(9)/(2)或3时，△PMN是等腰直角三角形．