三角恒等变换的实际应用某一块扇形铁皮,半径长为1,圆心角为π/3,今铁皮匠想从中剪下一个内接矩形ABCD,求能剪下的矩形ABCD的最大面积.要有图,有可能有人做过这道题,但是是配有图的,我这个

Question

三角恒等变换的实际应用
某一块扇形铁皮,半径长为1,圆心角为π/3,今铁皮匠想从中剪下一个内接矩形ABCD,求能剪下的矩形ABCD的最大面积.要有图,有可能有人做过这道题,但是是配有图的,我这个题没有图,需要分两种情况讨论）

Answer 1

1、
设∠AOD为α,则AE=sinα,OE=cosα.
因为CD=AE=sinα,
所以OD=sinα/tanπ/3=√3/3sinα,
所以DE=OE-OD=cosα-√3/3sinα
所以
S=CD*DE=(cosα-√3/3sinα)*sinα
=1/2sin2α-√3/3*(1-cos2α)/2
=1/2sin2α+√3/6cos2α-√3/6
=1/√3sin(2α+π/6)-√3/6
因为sin最大为1,所以S最大=√3/6
2、
∵扇形是轴对称图形 ∴内接的矩形也一定与扇形同轴对称设∠AOC为α,AE=sinα,AB=2sinα,OE=cosα因为CD=1/2AB=sinα因为∠COD=1/2*π/3=π/6,所以OD=CD/tanπ/6=√3sinα所以DE=OE-OD=cosα-√3sinαS=DE*AB=（cosα-√3sinα）*2sinα最后2sin(2α-π/6)-√3/4sin最大为1所以S最大=（8-√3）/4
啊啊啊,打字打死我了.