己知抛物线y=ax2+bx+c过C（2,0）,顶点D（0,-1）,k(2,4),抛物线上存在定点,使OH+KH最小

Question

己知抛物线y=ax2+bx+c过C（2,0）,顶点D（0,-1）,k(2,4),抛物线上存在定点
,使OH+KH最小

Answer 1

答：
抛物线y=ax²+bx+c
顶点D（0,-1）
设抛物线为：y=ax²-1
点(2,0)代入得：
y(2)=4a-1=0
解得：a=1/4
抛物线为：y=x²/4 -1
整理得：
x²=4(y+1)=2×2(y+1)
焦点O(0,0),准线y=-2
根据抛物线定义有：
设点H纵坐标为y,则OH=y-(-2)=y+2
HA垂直准线y=-2交准线于点A
则有：HA=OH
所以：OH+KH=HA+KH>=KA
当且仅当K、H和A三点共线时,距离之和最小
此时,KA垂直准线y=-2
所以：KA直线为x=2,点A（2,-2）
所以：H的横坐标x=2
代入y=x²/4-1=0
所以：H为（2,0）,距离之和最小值为4-(-2)=6