已知100台机床彼此独立地工作着，每台机床实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1）在某一时刻有70至86台机床工作的概率；（2）在某一时刻有80台以上机床工作的概率（利用中心极限

Question

已知100台机床彼此独立地工作着，每台机床实际工作时间占全部工作时间的80%，求：
（1）在某一时刻有70至86台机床工作的概率；
（2）在某一时刻有80台以上机床工作的概率（利用中心极限定理）．（已知φ（1.5）=0.9332，φ（2.5）=0.9938，当x≥3时，φ（x）=1）

Answer 1

（1）由题意，设ξ为某时刻机床工作的台数，则ξ～b（100，0.8）
∴Eξ=100×0.8=80，Dξ=100×0.8×0.2=16
∴由中心极限定理，知(ξ−Eξ)/(√(Dξ))＝(ξ−80)/(4)近似服从标准正态分布
∴P{70＜ξ＜86}=P(−(5)/(2)≤(ξ−80)/(4)|≤(3)/(2))＝Φ((3)/(2))−Φ(−(5)/(2))=Φ((3)/(2))+Φ((5)/(2)−1＝0.9332+0.9938−1＝0.927
（2）由（1）根据中心极限定理，
P（ξ＞80）=1-P（ξ≤80）=1-P（(ξ−80)/(4)≤0）=1-Φ（0）=1-0.5=0.5