一个桌球台,桌边比是M:N,一球从一角落以45度角射出,问怎么证明要进带反弹的次数是M+N-2

Question

一个桌球台,桌边比是M:N,一球从一角落以45度角射出,问怎么证明要进带反弹的次数是M+N-2

Answer 1

首先：题目不应该是桌球台,应该是只有4个角落开洞的.而桌球台有6个洞.
其次,M:N应该是最简比.
此题利用轴对称图形非常好理
设该矩形是ABCD,AB:BC=M:N.球从B出发,假设先遇到AD,则从AD反弹.
作矩形关于AD对称的图形,则可以看成是方向不变继续在新矩形中运动.
假设再次遇到C'D,作新矩形关于C'D对称的图形,则还是继续前进.
如此遇到边就作关于该边的对称图形.什么时候进洞呢?不是遇到边而是遇到角的时候,就是进洞.
在球的运动过程中,保持了到AB和到BC的距离一直相等,作进洞点到AB、BC的垂线,两垂线和AB、BC两线的延长线组成的正方形中,AB方向画了N个矩形,BC方向画了M个矩形,这MN个矩形组成正方形.
那么究竟碰撞了多少次呢?遇到多少次矩形的边,就碰撞了多少次.
在AB方向遇到（N-1）次（-1的原因是最后一次不是遇到边而是遇到角）,在BC方向遇到（M-1）次,一共M+N-1次.
理论完毕.
证明：设该矩形是ABCD,AB:BC=M:N.设AB=M,BC=N.假设球从B出发.将BA延长至E,使得AE=MN；将BC延长至F,使得BE=MN,作正方形BFGE,并分成和矩形ABCD一样的MN个矩形,连接BG.
因为球按45°角从B点打出,可知球一直到G才遇到角而进洞,
此时在AB和CD上共碰撞了（M-1）次,在AD和BC上共碰撞了（N-1）次,一共碰撞了M+N-2次.