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求证:关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.
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求证:关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.
▼优质解答
答案和解析
证明:必要性,∵关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2,
∴
,即
,
∴方程有实数根且两根均小于2时,不能得出a≥2,且|b|≤4;
∴必要性不成立.
充分性,∵二次函数f(x)=x2+2ax+b的对称轴为x=-a,
当a≥2时,-a≤-2<2,
又|b|≤4,∴f(2)=4+4a+b>0,
△=(2a)2-4b=4a2-4b>0,
∴二次函数f(x)的图象与x轴有两个交点,横坐标均小于2;
∴方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根都小于2;
∴充分性成立.
所以,关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.
∴
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∴方程有实数根且两根均小于2时,不能得出a≥2,且|b|≤4;
∴必要性不成立.
充分性,∵二次函数f(x)=x2+2ax+b的对称轴为x=-a,
当a≥2时,-a≤-2<2,
又|b|≤4,∴f(2)=4+4a+b>0,
△=(2a)2-4b=4a2-4b>0,
∴二次函数f(x)的图象与x轴有两个交点,横坐标均小于2;
∴方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根都小于2;
∴充分性成立.
所以,关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.
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