如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b=a2-4+4-a2+16a+2．（1）求直线AB的解析式；（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点

Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足 b=(a2 -4+4-a2+16)/(a+2) ．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．
（3）如图3过点A的直线y=kx-2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线 y=(k)/(2) x-(k)/(2) 交AP于点M，给出两个结论：① (PM+PN)/(NM) 的值是不变；② (PM-PN)/(AM) 的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．

Answer 1

（1）要使 b=(a2 -4+4- a2+16)/(a+2) 有意义，
必须a ² -4≥0，4-a ² ≥0，a+2≠0，
∴a=2，
代入得：b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：

0=2k+b

4=b

，
解得：k=-2，b=4，
∴函数解析式为：y=-2x+4，
答：直线AB的解析式是y=-2x+4．

（2）如图2，分三种情况：

①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中

∠MNB=∠BOA

∠NMB=∠ABO

BM=AB

，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6），
代入y=mx得：m= (3)/(2) ，
②如图2
当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m= (1)/(3) ，
③如图4，
当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是 (3)/(2) 或 (1)/(3) 或1．

（3）如图3，结论2是正确的且定值为2，
设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，HD交MP于D点， 连接ND，
由 y=(k)/(2) x-(k)/(2) 与x轴交于H点，
∴H（1，0），
由 y=(k)/(2) x-(k)/(2) 与y=kx-2k交于M点，
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A为HG的中点，
∴△AMG≌△ADH（ASA），
又因为N点的横坐标为-1，且在 y=(k)/(2) x-(k)/(2) 上，
∴可得N的纵坐标为-k，同理P的纵坐标为-2k，
∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1
∴N与D关于y轴对称，
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，
∴PN=PD=AD=AM，
∴ (PM-PN)/(AM) =2．