设f(x)定义于实数集上,当x＞0时,f(x)＞1,且对于任意实数x,y有f(x+y)=f(x)f(y),求证f(x)在R上为增函数

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设f(x)定义于实数集上,当x＞0时,f(x)＞1,且对于任意实数x,y有f(x+y)=f(x)f(y),
求证f(x)在R上为增函数

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答案和解析

f(0)=f(0)f(0),则f(0)=1或0,又f(0)=0时与题设矛盾,故f(0)=1.
当x1>x2>0时,f(x1)=f[x2+(x1-x2)]>f(x2)
记x>0,则f(0)=f[x+(-x)]>f(-x)
同理,当0>x1>x2时,f(x1)=f[x2+(x1-x2)]>f(x2)
综上所述有f为R上增函数

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