将2004分成若干个互不相同的正整数之和,并且使得这些正整数之积最大,求这个最大值麻烦给出比较详细的过程

Question

将2004分成若干个互不相同的正整数之和,并且使得这些正整数之积最大,求这个最大值
麻烦给出比较详细的过程

Answer 1

由于把2004分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种,因而一定存在一种分法,使得这些自然数的乘积最大.
若1作因数,则显然乘积不会最大.把2004分拆成若干个互不相等的自然数的和,因数个数越多,乘积越大.为了使因数个数尽可能地多,我们把2004分成2+3…+n直到和大于等于2004.
若和比2004大1,则因数个数至少减少1个,为了使乘积最大,应去掉最小的2,并将最后一个数（最大）加上1.
若和比2004大k（k≠1）,则去掉等于k的那个数,便可使乘积最大.
因为2+3+4+…+63=(2+63)*62/2=2015>2004
2+3+4+…+62=(2+62)*61/2=1952