设旷野上有一只野兔和一条猎狗.在时刻t=0,猎狗发现了野兔并开始追踪,野兔也同时发现猎狗并想兔穴直奔而去.假设兔穴位于坐标原点,时刻t=0,野兔位于（0,b）=(0,－60),猎狗位于（70,15）单位

Question

设旷野上有一只野兔和一条猎狗.在时刻t=0,猎狗发现了野兔并开始追踪,野兔也同时发现猎狗并想兔穴直奔而去.假设兔穴位于坐标原点,时刻t=0,野兔位于（0,b）= (0,－60),猎狗位于（70,15）单位：m.猎狗追踪的方向始终对着野兔,野兔和猎狗的速度为常数,野兔速度u=3m/s,猎狗速度v=5m/s.
（1）确定猎狗的追踪轨迹；
（2）问猎狗能否在野兔进洞前抓到野兔；
（3）如果野兔位置为（0,b）,试问猎狗的位置在什么范围内能在野兔到达兔穴前抓到野兔?
我大一的

Answer 1

为方便解方程,设兔子的初始位置为原点,兔子窝的坐标为（0,60）,
狗的初始坐标为（70,75）
dy/dx = Vy/Vx = (y-ut)/x=(y-3t)/x (1)
(dx)^2+(dy)^2 = v^2 (dt)^2 =25(dt)^2 (2)
对（1）式求导得到
3dt = -x(dy/dx) 代入（2）式化简得到
(y')^2+1=(5/3)^2 *x^2*y" （3）
这里y’和y"分别是y对x的一阶导数和二阶导数
解这个方程
先解出 Cln(y'+√(Y'^2+1)) = 9/25(1/x - 1/15)
C = -ln(75+5√494)
再解 y = 1/2 x + a e^(c/x) +b
a,b,c是常数,可以由初始条件得到.你的初始条件给的不好,计算很困难.
要计算猎狗能否在野兔进洞前抓到野兔,只需计算狗跑过的曲线的长度除以速度
与兔子回窝所需时间相比.