甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．

Question

甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．

Answer 1

记A ₁ ，A ₂ 分别表示甲击中9环，10环，B ₁ ，B ₂ 分别表示乙击中8环，9环，
A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
C ₁ ，C ₂ 分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）甲、乙的射击相互独立
在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数包括三种情况，
用事件分别表示为A=A ₁ •B ₁ +A ₂ •B ₁ +A ₂ •B ₂ ，且这三种情况是互斥的，
根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到
∴P（A）=P（A ₁ •B ₁ +A ₂ •B ₁ +A ₂ •B ₂ ）=P（A ₁ •B ₁ ）+P（A ₂ •B ₁ ）+P（A ₂ •B ₂ ）
=P（A ₁ ）•P（B ₁ ）+P（A ₂ ）•P（B ₁ ）+P（A ₂ ）•P（B ₂ ）
=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．
（Ⅱ）由题意知在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数表示三轮中恰有两轮或三轮甲击中环数多于乙击中的环数，这两种情况是互斥的，即B=C ₁ +C ₂ ，
∵P（C ₁ ）=C ₃ ² [P（A）] ² [1-P（A）]=3×0.2 ² ×（1-0.2）=0.096，
P（C ₂ ）=[P（A）] ³ =0.2 ³ =0.008，
∴P（B）=P（C ₁ +C ₂ ）=P（C ₁ ）+P（C ₂ ）=0.096+0.008=0.104．