设f:[0,1]->(0,1)是一个双射,用f建立一个[-1,1]到R的双射

Question

设f:[0,1]->(0,1)是一个双射,用f建立一个[-1,1]到R的双射

Answer 1

这个不是很容易的吗
分几步来做
[-1,1]->[0,1]->(0,1)->(-oo,+oo)
[-1,1]->[0,1]的双射可以用a(x)=(x+1)/2
(0,1)->(-oo,+oo)如果一下子看不清可以继续拆成(0,1)->(0,pi)->(-oo,+oo)
(0,1)->(0,pi)的双射可以用b(x)=pi*x
(0,pi)->(-oo,+oo)的双射可以用c(x)=ctg(x)
组合一下
g(x)=ctg( pi*f( (x+1)/2 ) )就是[-1,1]->(-oo,+oo)的一个双射