1.设点P是双曲线x^2-y^2/3=1上一点,焦点F（2,0）,点A（3,2）,使|PA|+1/2|PF|有最小值时,则点P的坐标是2.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,长轴长为2√3,直线l:y=kx+m交椭圆于不同的两点A、B.

Question

1.设点P是双曲线x^2-y^2/3=1上一点,焦点F（2,0）,点A（3,2）,使|PA|+1/2|PF|有最小值时,则点P的坐标是
2.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,长轴长为2√3,直线l:y=kx+m交椭圆于不同的两点A、B.若坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.

Answer 1

1.设点P是双曲线x²-y²/3=1上一点,焦点F（2,0）,点A（3,2）,
使|PA|+(1/2)|PF|有最小值时,则点P的坐标是
解:易知,双曲线的a=1, b=√3, c=2, e=c/a=2, 右准线方程: x=a²/c=1/2.
设双曲线上的动点P到右准线的距离为d,那么│PF│/d=e=2,故d=(1/2)│PF│.
∴│PA│+(1/2)│PF│=│PA│+d.
不难证明:取过A作右准线的垂直线与双曲线的交点为P,就能使│PA│+(1/2)│PF│
=│PA│+d最小.于是令y=2,代入双曲线方程得x²-4/3=1, x=√(1+4/3)=√(7/3)
即使│PA│+(1/2)│PF│最小的P点的坐标为(√(7/3), 2)=((√21)/3, 2)
2.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为(√6)/3,长轴长为2√3,直线L:y=kx+m交椭
圆于不同的两点A、B.若坐标原点O到直线L的距离为(√3)/2,求△AOB面积的最大值.
解:易知,a=√3, a²=3, c=√2, c²=2, b²=1
故椭圆方程为 x²/3+y²=1
坐标原点到直线L的距离d=│-m│/√(k²+1)=(√3)/2,故有:
4m²=3k²+3.(1)
△AOB的面积S=(1/2)×[(√3)/2]×│AB│=[(√3)/4]│AB│
要使S最大,必须使弦长│AB│最大. 设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂),则
│AB│=√[(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)].(2)
将直线方程y=kx+m代入椭园方程,得
x²/3+(kx+m)²=1,展开化简得:
(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0, x₁,x₂是其二根,故
x₁+x₂=-6km/(1+3k²)
x₁x₂=3(m²-1)/(1+3k²)
y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k(x₁+x₂)+2m=-6k²m/(1+3k²)+2m=2m/(1+3k²)
y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²
=3k²(m²-1)/(1+3k²)-6k²m²/(1+3k²)+m²=(m²-3k²-6k²m²)/(1+3k²)
将以上四式代入(2),再与(1)联立消去一个参数(m或k),然后利用二次函数的知识
选取适当的m或k使│AB│最大,并求出这个最大值,问题就获得解决..