I-AB的行列式为0当且仅当I-BA的行列式为0I为N阶单位矩阵A和B为N阶方阵没说可不可逆.

Question

I-AB的行列式为0当且仅当I-BA的行列式为0
I为N阶单位矩阵 A和B为N阶方阵 没说可不可逆.

Answer 1

只需证明|E-AB|=|E-BA|（E为n阶单位矩阵）
用分块矩阵的方法：
令C=E 0 D=E B
-A E A E
则 CD=E B DC=E-BA B
0 E-AB 0 E
则有 |E||E-AB|=|CD|=|DC|=|E-BA||E|
即有|E-AB|=|E-BA|