如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．分析问题根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋

题目详情

如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=

，PB=

，PC=1，求∠BPC的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．
【解决问题】请你通过计算求出图2中∠BPC的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2

，PB=4，PC=2．
（1）∠BPC的度数为______；
（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为

．

▼优质解答

答案和解析

【解决问题】如图4，将△PBC逆时针旋转90°得△P′BA，连接PP′，
∴△AP′B≌△CPB，
∴P′B=PB=

，P′A=PC=1，∠1=∠2．∠AP′B=∠BPC．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
即∠P′BP=90°．
∴∠BP′P=45°．
在Rt△P′BP中，由勾股定理，得
PP′²=4．
∵P′A=1，AP=

∴P′A²=1，AP²=5，
∴P′A²+PP′²=AP²，
∴△P′AP是直角三角形，

∴∠AP′P=90°．
∴∠AP′B=45°+90°=135°，
∴∠BPC=135°；

（1）仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，连结PP′．如图5，
∴△PBC≌△P′BA，
∴P′B=PB=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，
∴△BPP′为等腰三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠PBP′=120°，
∴∠BP′P=30°，
作BG⊥PP′于G，
∴∠P′GB=90°，PP′=2P′G．
∵P′B=PB=4，∠BP′P=30°，
∴BG=2，
∴P′G=2

∴PP′=4

，
在△APP′中，∵PA=2

，PP′=4

，P′A=2，
∴PA²=52，PP′²=48，P′A²=4，
∴P′A²+P′P²=PA²，
∴△PP′A是直角三角形，
∴∠AP′P=90°．
∴∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．

（2）延长A P′作BG⊥AP′于点G，如图6，
在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，
∴P′G=2，BG=2