已知三角形AOB中,OB=3,OA=4,AB=5,点P是三角形AOB内切圆上一点,求以PA,PB,PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值?

Question

已知三角形AOB中,OB=3,OA=4,AB=5,点P是三角形AOB内切圆上一点,求以PA,PB,PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值?

Answer 1

以O为原点,OA,OB为x,y轴建立直角坐标系,且A(4,0),B(0,3)
那么三角形OAB的内切圆方程为(x-1)^2+(y-1)^2=1
以PA,PB,PC为直径的圆面积：S=π[|PA|^2+|PB|^2+|PO|^2]/4
所以只需求|PA|^2+|PB|^2+|PO|^2的最大最小值.
设P点坐标 (x,y),
【 则x,y满足：(x-1)^2+(y-1)^2=1,因为P点在圆上,有y^2-2y=-x^2+2x-1】
则 |PA|^2+|PB|^2+|PO|^2
=[(x-4)^2+y^2]+[x^2+(y-3)^2]+[x^2+y^2]
=3x^2+3y^2-8x-6y+25
=3x^2-8x+25+3(-x^2+2x-1)
=-2x+22
由于：(x-1)^2+(y-1)^2=1 所以：(x-1)^2≤1,即 0≤x≤2
所以：18≤-2x+22≤22
所以：18≤|PA|^2+|PB|^2+|PO|^2≤22
则面积的最大值：11π/2
面积的最小值：9π/2
具体过程我没有检查,应该没有错吧,你自己看看哈.