（2007•上海模拟）如图所示，质量为M、长度为L的均匀桥板AB，A端连在桥墩上可以自由转动，B端搁在浮在水面的方形浮箱C上，一辆质量为m的汽车P从A处匀速驰向B处，设浮箱为长方体，上下

Question

（2007•上海模拟）如图所示，质量为M、长度为L的均匀桥板AB，A端连在桥墩上可以自由转动，B端搁在浮在水面的方形浮箱C上，一辆质量为m的汽车P从A处匀速驰向B处，设浮箱为长方体，上下浮动时上表面保持水平，并始终在水面以上，上表面面积为S，水密度为ρ，汽车未上桥面时桥面与浮箱上表面的夹角为α，汽车在桥面上行驶的过程中，浮箱沉入水中的深度增加，求：
（1）汽车未上桥时，桥板的B端对浮箱C的压力；
（2）浮箱沉入水中的深度的增加量△H跟汽车P离桥墩A的距离x的关系（汽车P可以看做一个质点）．

Answer 1

（1）汽车未上桥时，以A为支点，对杆而言，有重力力矩和支持力力矩，根据力矩平衡条件，有：
Mg(L)/(2)cosα=FLcosα
解得：F=(1)/(2)Mg
根据牛顿第三定律，桥板的B端对浮箱C的压力也为(1)/(2)mg；
（2）对浮箱有：F_浮=G_C+F
设车上桥后桥面与浮箱上表面的夹角为θ，则
Mg(L)/(2)cosθ+mgxcosθ=F’Lcosθ
解得：F’=(1)/(2)Mg+mg(x)/(L)
△F_浮=F’-F=mg(x)/(L)=ρgS△H
故△H=(m)/(ρLS)x．
答：（1）汽车未上桥时，桥板的B端对浮箱C的压力为(1)/(2)Mg；
（2）浮箱沉入水中的深度的增加量△H跟汽车P离桥墩A的距离x的关系为△H=(m)/(ρLS)x．