某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10

Question

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A₁B₁C₁D₁和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A₁B₁C₁D₁的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）

（Ⅰ）若设休闲区的长和宽的比(A1B1)/(B1C1)＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；
（Ⅱ）要使公园所占面积最小，休闲区A₁B₁C₁D₁的长和宽该如何设计？

Answer 1

（Ⅰ）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米，
∴a2x=4000⇒a=(20√(10))/(√(x))，
∴S=（a+8）（ax+20）=a²x+（8x+20）a+160

=4000+(8x+20)•(20√(10))/(√(x))+160

=80√(10)(2√(x)+(5)/(√(x)))+4160，x∈(1，+∞)

（Ⅱ）S≥1600+4160=5760，
当且仅当2√(x)=(5)/(√(x))⇒x=2.5时，公园所占面积最小，此时，a=40，ax=100，
即休闲区A₁B₁C₁D₁的长为100米，宽为40米．