（2014•石景山区一模）已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A-BCDE的体积．

题目详情

（2014•石景山区一模）已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求四棱锥A-BCDE的体积．

▼优质解答

答案和解析

证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点
∴FG∥CD，且FG=

DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC
∴EF∥面ABC…（4分）
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          …（6分）
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．  …（8分）
（Ⅲ）
方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC．
VA−BCDE＝VE−ABC+VE−ACD＝

×1+

×1×

＝

．…（12分）
方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为V_A-BCDE的高，AO＝