（2010•嘉定区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD=4cm，∠D=45°，BC=3cm．（1）求cos∠B的值；（2）点E为BC延长线上的动点，点F在线段CD上（点F与点C不重合），且满足∠AFC=∠ADE

题目详情

（2010•嘉定区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD=4cm，∠D=45°，BC=3cm．

（1）求cos∠B的值；
（2）点E为BC延长线上的动点，点F在线段CD上（点F与点C不重合），且满足∠AFC=∠ADE，如图，设BE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）点E为射线BC上的动点，点F在射线CD上，仍然满足∠AFC=∠ADE，当△AFD的面积为2cm²时，求BE的长．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠DAC=90°．
∵∠D=45°，
∴∠ACD=45°．
∴AD=AC．
∵AD=4cm，
∴AC=4cm．
∵BC=3cm，
∴AB＝

AC2+BC2

＝5cm．
∴cos∠B＝

＝

．

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DCE．
∵∠AFC=∠FDA+∠FAD，∠ADE=∠FDA+∠EDC，

又∠AFC=∠ADE，
∴∠FAD=∠EDC．
∴△ADF∽△DCE．
∴

＝

．
在Rt△ADC中，DC²=AD²+AC²，
∵AD=AC=4cm，
∴DC＝4

cm．
∵BE=x，
∴CE=x-3．
又∵DF=y，
∴

＝

x−3

．
∴y＝

x−

．
定义域为3＜x＜11．

（3）当点E在BC的延长线上，由（2）可得：△ADF∽△DCE，
∴

S△ADF

S△DCE

＝(

)2
∵S_△AFD=2cm²，AD=4cm，DC＝4

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