一道美国数学邀请赛试题，我觉得我的解法没问题，但答案与标答不同？第12届美国数学邀请赛有这样一道赛题：一个心烦的学生走过一个大厅，大厅中有一排关着的柜子，从1到1024编号，打

Question

一道美国数学邀请赛试题，我觉得我的解法没问题，但答案与标答不同？

第12届美国数学邀请赛有这样一道赛题：一个心烦的学生走过一个大厅，大厅中有一排关着的柜子，从1到1024编号，打开一号柜后他往前走，交替地不碰或打开每一个关着的柜子，当他走到大厅尽头，转身往回走，打开遇到的第一个柜子，学生按这种方式来回走动，问最后一个打开的编号为多少？

我的解法和答案提供的不同，但算出来结果不一样。请各位高手不吝赐教，给我看看我的解法错在哪里，我对解组合题经验不是很丰富，如果各位对我的解法不满意尽管说出来、骂出来，有利于我的不断提高。最后祝各位高手新年快乐！！！我的解法：

记这样的编号方式为方式A：以学生遇到的第一个关着的柜子为一号顺次编号。记这样的编号方式为方式B：以学生出发那头的第一个柜子为一号顺次编号。设学生第k次走过大厅最后一个关掉的柜子在A下的号码为a_k，在B下的号码为b_k。

由题述，该学生每走过一次大厅，就将大厅中关着的柜门打开一半，故学生每经过一次大厅，相邻两关着的柜子编号之差扩大一倍，设学生第k次走过大厅时，关着的柜门在A下的编号组成的数列为c_k，n，则c_k，n是以1为首项，以2^k-1为公差的等差数列，于是c_k，n=2^k-1n-2^k-1-1，且由于每经过一次打开一半关闭的柜子，该数列有2^10-k+1项。学生每次经过时，仅打开A下编号为c_k，n中的奇数项的柜子，故a_k=c_k，2^10-k+1_-1=1025-2^k。令a_k=1，得k=10

下面考虑：当学生第k-1次经过大厅时，最后一个未打开的柜门在A下编号为a_k-1+2^k-2，在B下编号为b_k-1+2^k-2，当学生转身经过第k次经过大厅时，这个柜子在B下编号为1024-（b_k-1+2^k-2）+1，在A下的编号为1，而A下编号组成的数列可由B下编号组成的数列做平移得到，因而1024-（b_k-1+2^k-2）+1-1=b_k-a_k。将a_k代入并化简得b_k+b_k-1=2049-5·2^k-2①

由b₁=1023及①式迭代得b₁₀=171.

由于10为偶数，故学生最后打开的柜子为1024-171+1=854

 

（答案为342号）

Answer 1

大哥你这写的解法也太粗糙了，式子一个比一个难懂，亏得我耐着心看完了。费老了脑细胞了！
整体来说，你这计算和推理都没有错，唯一出了问题的就是：
你这个ck表示的是“第k次走过大厅之前关着的柜子的编号"，也就是说当k=1的时候，这个人还没开始走。
这个烦躁的哥们确实需要走10遍才能剩下最后一个柜子。但在你的那个解法里需要k=11，因为k=11时他第10遍才走完。而在k=10时还剩下两个柜子是342和854，这时你的ak=854。然后他就要往回走把这个854关掉了，这时k=11，这一步被你漏掉了，所以才得到了个854号。
修改方法是：1. 将ck数列的公差变为2k+1
或 2. 迭代到k=11