如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；（2）求证：EF+EG=2CE．

题目详情

如图，在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．
（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；
（2）求证：EF+EG=

CE．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，
∵BE⊥DF，
∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，
∴∠CBG=∠CDF，
在△CBG和△CDF中，

∠BCG＝∠DCF＝90°

BC＝CD

∠CBG＝∠CDF

，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴BG=DF=4，
∴在Rt△BCG中，CG²+BC²=BG²，
∴CG=

42−32

；

（2）证明：如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，

∵△CBG≌△CDF，
∴CG=CF，∠F=∠CGB，
∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90°，
∴∠MCG=∠ECF，
在△MCG和△ECF中，

∠MCG＝∠ECF

CG＝CF

∠F＝∠CGB

，
∴△MCG≌△ECF（SAS），
∴MG=EF，CM=CE，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME=

CE，
又∵ME=MG+EG=EF+EG，
∴EF+EG=

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