为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4-k2t+1（k为常数）．如果不

Question

为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4-(k)/(2t+1)（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）．
（1）求常数k，并将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

Answer 1

（1）由题意，不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，知t=0时，x=1（万件），
∴1=4-k，得k=3，
从而x=4-(3)/(2t+1)，又每件产品的销售价格为1.5×(6+12x)/(x)元，
∴2016年的利润为y=1.5×(6+12x)/(x)×x-（6+12x+t）=3+6x-t=27-(18)/(2t+1)-t（t≥0）；
（2）设2t+1=m（m≥1），由（1）得，y=(55)/(2)-（(18)/(m)+(m)/(2)），
∵m≥01时，(18)/(m)+(m)/(2)≥2√(9)=6，
∴y≤(43)/(2)，
当且仅当(18)/(m)=(m)/(2)，即m=6，t=2.5（万元）时取等号，此时，y_max=(43)/(2)（万元）．
答：该厂家2016年的促销费用投入2.5万元时，厂家的利润最大，最大值为(43)/(2)万元．