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为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-k2t+1(k为常数).如果不

题目详情
为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-
k
2t+1
(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍(生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分).
(1)求常数k,并将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;
(2)该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件,知t=0时,x=1(万件),
∴1=4-k,得k=3,
从而x=4-
3
2t+1
,又每件产品的销售价格为1.5×
6+12x
x
元,
∴2016年的利润为y=1.5×
6+12x
x
×x-(6+12x+t)=3+6x-t=27-
18
2t+1
-t(t≥0);
(2)设2t+1=m(m≥1),由(1)得,y=
55
2
-(
18
m
+
m
2
),
∵m≥01时,
18
m
+
m
2
≥2
9
=6,
∴y≤
43
2

当且仅当
18
m
=
m
2
,即m=6,t=2.5(万元)时取等号,此时,ymax=
43
2
(万元).
答:该厂家2016年的促销费用投入2.5万元时,厂家的利润最大,最大值为
43
2
万元.
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