在一张纸上,写下1--50个自然数,每次擦掉其中两个单数或两个双数,然后写上这两个数的平均数,这样一直边擦边写下去,最后剩下一个数,问所剩的数最大是几?、

Question

在一张纸上,写下1--50个自然数,每次擦掉其中两个单数或两个双数,然后写上这两个数的平均数,
这样一直边擦边写下去,最后剩下一个数,问所剩的数最大是几?
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Answer 1

最大是49.
假设对前n个自然数采用上述规则,则最后剩下的唯一一个数必定是“平均化”（姑且称擦掉两个数并留其平均数的操作为一次“平均化”）后的产物,因而也就一定不会是n,因为n也要参与最后一次的“平均化”.
用数学归纳法可以证明,最后剩下的唯一一个数最大是n-1.
少了就不举例了,先看n=5的情形：先取（1,3）平均化,再取（2,2）平均化,再取（2,4）平均化,最后（3,5）平均化,剩余的数字是4,结论成立.
假设n=k（k≥5）时结论成立,当n=k+1时,由于前k个自然数经过适当操作可以保留k-1,最后再做一次（k-1,k+1）的操作,最后唯一剩下的数字就是k,结论也成立.