当k为正整数时,k^5-5k^3+4k一定能被120整除,您认为正确吗?请说明理由.

Question

当k为正整数时,k^5-5k^3+4k一定能被120整除,您认为正确吗?请说明理由.

Answer 1

k^5-5k^3+4k
=k(k^4-5k^2+4)
=k(k^2-1)(k^2-4)
=k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2)
=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)
为5个连续自然数的乘积
5个连续自然数中,
至少有1个能被3整除
至少有1个能被5整除
至少有1个能被4整除
除了能被4整除的这个,还至少有一个能被2整除
3×5×4×2=120
所以5个连续的自然数相乘,一定能被120整除
所以k为正整数时,k^5-5k^3+4k一定能被120整除