四边形ABCD是正方形，点E在边BC上（不与端点B、C重合），点F在对角线AC上，且EF⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG（1）若AB=72，BE=2，求FG的长；（2）求证：DF=2FG；（3）将图1中的△CEF绕

Question

四边形ABCD是正方形，点E在边BC上（不与端点B、C重合），点F在对角线AC上，且EF⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG
（1）若AB=7√(2)，BE=√(2)，求FG的长；
（2）求证：DF=√(2)FG；
（3）将图1中的△CEF绕点C按顺时针旋转，使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上（如图2），连接AE、点G仍是AE的中点，猜想BF与FG之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
根据勾股定理得，AE=√(AB2+BE2)=10，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∵点G是AE中点，
∴FG=(1)/(2)AE=5；
（2）连接BF，BG，如图1，

∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB=AD，∠DAC=∠BAC，
∵AF=AF，
∴△AFD≌△AFB，
∴DF=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∴点A，F，E，B四点共圆，
∵点G是AE中点，
∴点G为点A，F，E，B四点共圆的圆心，
∵∠BAC=45°，
∴∠BGF=2∠BAC=90°，
在Rt△ABE中，BG=(1)/(2)AE，
在Rt△AFE中，FG=(1)/(2)AE，
∴BG=FG，
∴∠BGF=90°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF=√(2)FG，
∵DF=BF，
∴DF=√(2)FG，
（3）BF=√(2)FG；连接BG，CG

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，AB=BC，
由旋转有，∠CFE=90°，∠ECF=45°，
∴∠ACE=90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG=CG=AG，
∴△AGB≌△CGB，
∴∠ABG=∠CBG=(1)/(2)∠ABC=45°，
∵EG=CG，EF=CF，FG=FG，
∴△EFG≌△CFG，
∴∠EFG=∠CFG=360°-∠BFE=360°-90°=270°，
∴∠EFG=135°，
∵∠BFE=90°，
∴∠BFG=45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF=√(2)FG．