如图，边长为a的正方形ABCD中，E，F是边AD，AB上两点（与端点不重合），且AE=BF，连接CE，DF相交于点M．（1）当E为边AD的中点时，则DF的长为（用含a的式子表示）；（2）求证：∠MCB+∠MFB=18

Question

如图，边长为a的正方形ABCD中，E，F是边AD，AB上两点（与端点不重合），且AE=BF，连接CE，DF相交于点M．

（1）当E为边AD的中点时，则DF的长为___（用含a的式子表示）；
（2）求证：∠MCB+∠MFB=180°；
（3）点M能成为DF的中点吗？如果能，求出此时CM的长（用含a的式子表示），如果不能，说明理由．

Answer 1

（1）∵E为边AD的中点，
∴F也为边AB边的中点，
∴AF=(1)/(2)AB=(1)/(2)a，
在Rt△ADF中，
AD²+AF²=DF²，
∴DF=√(a2+(1)/(4)a2)=(√(5))/(2)a；

（2）∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC=CD=AD，
又∵AE=BF，
∴AF=DE，
∵∠CDE=∠A=90°，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠ADF=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴∠MCB+∠MFB=180°；

（3）假设点M成为DF的中点，
∵∠DME=90°，
∴DF⊥CE，
∵M成为DF的中点，
∴CM是DF的垂直平分线，
∴DC=CF，
∵DC=BC≠CF，
∴点M不能成为DF的中点．