如图，已知四边形ABDE，ACFG都是△ABC外侧的正方形，连DF，若M，H分别为DF，BC的中点；求证：MH⊥BC且MH=12BC．

Question

如图，已知四边形ABDE，ACFG都是△ABC外侧的正方形，连DF，若M，H分别为DF，BC的中点；求证：MH⊥BC且MH=(1)/(2)BC．

Answer 1

证明：分别过点D、A、F作直线BC的垂线，垂足分别为P、T、Q 
∵四边形ABDE为正方形
∴AB=BD，∠ABD=90°
∴∠1=∠3     
而∠DPB=∠BTA=90°
∴△DPB≌△BTA  （AAS）
∴DP=BT，PB=AT    
同理AT=CQ，TC=FQ，
∴PB=CQ
又∵H为BC的中点，
∴BH=HC
∴PB+BH=CQ+CH，即：PH=QH
在直角梯形DPQF中，M为DF的中点，H为PQ的中点
∴MH∥DP     
MH=(1)/(2)（DP+FQ）=(1)/(2)（BT+TC）=(1)/(2)BC
又∵DP⊥BC，MH⊥BC
即：MH⊥BC，且MH=(1)/(2)BC．