已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P（-2,0）与其渐进线的距离为（根号10）／5,过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,且PM是PA与PB的等比中项,求双曲线的渐近线方程

Question

已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P（-2,0）与其渐进线的距离为（根号10）／5,过P作斜率为1/6的
直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,且PM是PA与PB的等比中项,求双曲线的渐近线方程

Answer 1

设双曲线的方程为：（X的方）/a的方-（Y的方）/b的方=1———（1）,其渐近线的方程为：Y=（b/a）*X,Y=（-b/a）*X,即bX-aY=0,bX+aY=0,所以P（-2,0）到渐近线的距离：（根号下10）/5=|b*（-2）+（-a）*0|/根号下（a的方+b的方）,化简得：a的方=9*（b的方）———（2）,直线PB的方程为：Y=（1/6）*（X+2）———（3）,将方程（1）、（3）联立求解并运用韦达定理得：X1+X2=（4*a的方）/[36*（b的方）-a的方],X1X2=（-4*a的方-36*a的方*b的方）/（36*b的方-a的方）,Y1+Y2=（24*b的方）/（36*b的方-a的方）,Y1Y2=（4*b的方-a的方*b的方）/（36*b的方-a的方）；在（3）中,令X=0,得Y=1/3,所以M点的坐标为（0,1/3）,|PM|=根号下[2的方+（1/3）的方]=（根号下37）/3,设A、B两点的坐标分别为（X1,Y1）、（X2,Y2）,向量PA*向量PB=（X1+2,Y1）*（X2+2,Y2）=X1X2+2（X1+X2）+Y1Y2+4,将以上（X1X2）、（X1+X2）、（Y1Y2）的值代入得：向量PA*向量PB=（148*b的方-37*a的方*b的方）/（36*b的方-a的方）,又：向量PA*向量PB=|PA|*|PB|*cos0度=|PA|*|PB|,由PM是PA与PB的等比中项有：|PM|的方=|PA|*|PB|,即：37/9=（148*b的方-37*a的方*b的方）/（36*b的方-a的方）,解之得：b=1/3,将b代入（2）得：a=1,所以双曲线的渐近线方程为：Y=（1/3）*X,Y=（-1/3）*X