如图，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN，连结FM、FH、MH．（1）求△ACE的面积；（2）试探究△FMH是否是等腰直角三

Question

如图，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN，连结FM、FH、MH．
（1）求△ACE的面积；
（2）试探究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；
（3）当∠GCN=30°时，求△FMH的面积．

Answer 1

（1）连结CM，
∵CA=CE=2，M分别是边AE的中点，
∴CM⊥AE．…（1分）
在RT△ACM中，AM＝(1)/(2)AE＝c，
由勾股定理得，CM＝√(AC2−AM2)＝√(4−c2)．
∴S_△ACE=(1)/(2)AE•CM=c√(4−c2)．…（2分）
（2）△FMH是等腰直角三角形．…（3分）
证明：连结BM，DM．∵CA=CE=2，
点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，∴BC=CD=BM=DM=1．…（4分）
∴四边形BCDM是边长为1的菱形，
∴∠CBM=∠CDM．
∴∠CBM+∠FBC=∠CDM+∠HDC，即∠FBM=∠HDM，
∴△FBM≌△MDH．…（4分）
∴FM=MH，且∠FMB=∠HMD（设大小为θ）．
又设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．
在△MDH中，DM=DH=1，
∴∠DHM=∠DMH=θ，
由三角形内角和定理可有：∴∠DHM+∠DMH+∠MDH=180°，
得：θ+θ+2α+90°=180°，
∴α+θ=45°．…（5分）
∴∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-2（α+θ）=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形． …（6分）
（3）在等腰△ACE中，∠ACE=180°-2α，
又当∠GCN=30°时，∠ACE=360°-∠GCN=180°-30°=150°
从而有：180°-2α=150°，又α+θ=45°，得θ=30°，α=15°．…（7分）
如图，作△HMD的边MD上的高HQ，则由勾股定理有：
DQ＝(1)/(2)DH＝(1)/(2)，HQ2＝DH2−DQ2＝12−((1)/(2))2＝(3)/(4)MQ＝1+(1)/(2)＝(3)/(2)，MH2＝MQ2+HQ2＝(9)/(4)+(3)/(4)＝3…（8分）
∴△FMH的面积S△FMH＝(1)/(2)FM×HM＝(1)/(2)HM2＝(3)/(2相关问答P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O在△ABC中，D是边BC的中点．（1）①如图1，求如图所示，一根均匀的细木棒OC，OA=14OC，B在三角形abc中,sin角a=sin角b=4/5,已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P（-2已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线A如图，∠CAP=∠DBP=90度，AC=AP，BD如图，线段AB=21，BC=15，点M是AC的中点（2014•甘肃二模）已知点P在直线x+2y-1=如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，设D是弧AC首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)