如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是3和4，点M、N分别是边BC、CD的中点，点P是对角线上的一点，则PM+PN的最小值是．

Question

如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是3和4，点M、N分别是边BC、CD的中点，点P是对角线上的一点，则PM+PN的最小值是___．

Answer 1

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=(1)/(2)AC=(3)/(2)，BP=(1)/(2)BD=2，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=√(CP2+BP2)=(5)/(2)，
即NQ=(5)/(2)，
∴MP+NP=QP+NP=QN=(5)/(2)，
故答案为：(5)/(2)．