求曲面积分∫∫x^2dydz+y^2dzdx,∑:{z=x^2+y^2,z=x}取下侧.我就想问下,如果我分别计算,那么dydz平面上是取正还是取负,关于这方面的题目,是看cosαcosβcosγ的值吗?如果是的话,这道题目的dydz是看

Question

求曲面积分∫∫x^2dydz+y^2dzdx,∑:{z=x^2+y^2,z=x} 取下侧.
我就想问下,如果我分别计算,那么dydz平面上是取正还是取负,关于这方面的题目,是看cosα cosβ cos γ的值吗? 如果是的话,这道题目的dydz是看cosβ吗?关于这个平面的cosβ 怎么计算的?

Answer 1

dydz是用cosα判断,dzdx用cosβ.
方向余弦计算,令F(x,y,z)=x²+y²-z,则法向量为：(Fx,Fy,Fz)=(2x,2y,-1),然后将此向量变成单位向量后,它的三个分量就是三个方向余弦,然后判定这个方向是否符合“朝下”,只需看第三个分量是否为负就行了,如果不为负,则再乘个-1.