求曲面S：x22+y2+z24=1的切平面，使之与平面π：2x+2y+z+5=0平行．

Question

求曲面 S：(x2)/(2)+y²+(z2)/(4)=1的切平面，使之与平面π：2x+2y+z+5=0平行．

Answer 1

设F（x，y，z）=(x2)/(2)+y²+(z2)/(4)-1，则曲面S在任意点（x，y，z）处的法向量

n

∥（F_x，F_y，F_z），即

n

∥（x，2y，2z）
∴要使得曲面S任意点（x，y，z）处的切平面与平面π平行，则有
（2，2，1）∥（x，2y，2z）
即令(x)/(2)=(2y)/(2)=(2z)/(1)=t
又(x2)/(2)+y²+(z2)/(4)=1
∴解得t=±(7)/(4)
①当t=(7)/(4)时，切点（x，y，z）=((7)/(2)，(7)/(4)，(7)/(8))，
切平面为：2(x-(7)/(2))+2(y-(7)/(4))+(z-(7)/(8))=0，即2x+2y+z-(91)/(8)=0；
②当t=-(7)/(4)时，切点（x，y，z）=-((7)/(2)，(7)/(4)，(7)/(8))，
切平面为：2(x+(7)/(2))+2(y+(7)/(4))+(z+(7)/(8))=0，即2x+2y+z+(91)/(8)=0
∴所求切平面为：2x+2y+z±(91)/(8)=0