如图所示，曲面AB与半径r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方自立一根轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口C端齐平，质量为m的小球（可

Question

如图所示，曲面AB与半径r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方自立一根轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口C端齐平，质量为m的小球（可视为质点）在曲面上某点由静止释放，进入管口B端时，上管壁对小球的作用力为mg．
（1）求小球达到B点时的速度大小v_B；
（2）若释放点距B点高度为2r，求小球在曲面AB上运动时克服阻力所做的功W；
（3）小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧性势能的最大值为E_p，求弹簧被压缩的最大形变量x．

Answer 1

（1）小球在B点受重力和拉力的作用做匀速圆周运动；由向心力公式可得：
F+mg=(mv2B)/(r)；
解得：v=√(2gr)；
（2）小球从A滑到B，由动能定理有：
mg•2r-W=(1)/(2)mv_B²-0
解得：W=mgr；
（3）当弹性势能最大时，小球的速度为0，对小球从B到最低点的过程，由机械能守恒定律可知：
mg（r+x）+(1)/(2)mv_B²=E_p
解得：x=(Ep)/(mg)-2r
答：（1）小球达到B点时的速度大小为√(2gr)
（2）若释放点距B点高度为2r，求小球在曲面AB上运动时克服阻力所做的功W为mgr；
（3）小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧性势能的最大值为E_p，求弹簧被压缩的最大形变量为(Ep)/(mg)-2r．