如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（7，0），点B的坐标为（3，4），（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）将线段AB绕A点顺时针旋转75°至AC，直接写出点C的坐标；（3）在y轴

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（7，0），点B的坐标为（3，4），
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）将线段AB绕A点顺时针旋转75°至AC，直接写出点C的坐标；
（3）在y轴上找一点P，第一象限找一点Q，使得以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形，求出点Q的坐标；
（4）△OAB的边OB上有一动点M，过M作MN∥OA交AB于N，将△BMN沿MN翻折得△DMN．设MN=x，△DMN与△OAB重叠部分的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并求出重叠部分面积的最大值．

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0），
∵点A（7，0）、B（3，4）在抛物线上，
∴

49a+7b＝0

9a+3b＝4

，
解得

a＝−(1)/(3)

b＝(7)/(3)

，
∴抛物线解析式y=-(1)/(3)x²+(7)/(3)x；

（2）过点C作CE⊥x轴于E，
∵A（7，0），B（3，4），
∴AB=√((7−3)2+42)=4√(2)，∠BAO=45°，
∵AB绕A点顺时针旋转75°至AC，
∴∠CAE=180°-45°-75°=60°，
∴CE=4√(2)×(√(3))/(2)=2√(6)，AE=4√(2)×(1)/(2)=2√(2)，
∴OE=OA+AE=7+2√(2)，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标为（7+2√(2)，2√(6)）；

（3）由勾股定理得，OB=√(32+42)=5，
①OB是菱形的边时，点Q到x轴的距离为4+5=9，
所以，点Q的坐标（3，9）；
②OB是菱形的对角线时，BQ=(1)/(2)OB÷cos∠OBQ=(5)/(2)÷(4)/(5)=(25)/(8)，
所以，点Q到x轴的距离为4-(25)/(8)=(7)/(8)，
所以，点Q的坐标为（3，(7)/(8)），
综上所述，以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（3，9）或（3，(7)/(8)）；

（4）当点D在OA上时，MN=(1)/(2)OA=(7)/(2)，
①0＜x≤(7)/(2)时，重叠部分是△DMN的面积，
△OAB的面积=(1)/(2)×7×4=14，
∵MN∥OA，
∴△BMN∽△BOA，
∴(S△BMN)/(S△BOA)=（(MN)/(OA)）²=（(x)/(7)）²=(1)/(49)x²，
∴y=(1)/(49)x²•14=(2)/(7)x²，
当x=(7)/(2)时，y最大且最大值为(7)/(2)；
②(7)/(2)＜x＜7时，连接BD交MN于F，交OA于G，设DM与OA相交于H，DN与OA相交于K，
由△BMN∽BOA得，(MN)/(OA)=(BF)/(BG)，
即(x)/(7)=(BF)/(4)，
解得BF=(4)/(7)x，
由翻折的性质得，BF=DF=(4)/(7)x，
∴FG=4-(4)/(7)x，DG=(4)/(7)x-（4-(4)/(7)x）=(8)/(7)x-4，
由△DHK∽△DMN得，(HK)/(MN)=(DG)/(DF)，
即(HK)/(x)=((8)/(7)x−4)/((4)/(7)x)，
解得HK=2x-7，
重叠部分面积y=S_{四边形MHKN}=(1)/(2)×（2x-7+x）×（4-(4)/(7)x）=-(6)/(7)x²+8x-14，
配方得，y=-(6)/(7)（x-(14)/(3)）²+(14)/(3)，
当x=(14)/(3)时，y最大且最大值为(14)/(3)，
综上所述，y与x之间的函数关系式为y=

y＝(2)/(7)x2(0＜x≤(7)/(2))

y＝−(6)/(7)x2+8x−14((7)/(2)＜x＜7)

，
∵(7)/(2)＜(14)/(3)，
∴当x=(14)/(3)时，y最大且最大值为(14)/(3)．